MATURA 2012: MATEMATYKA, poziom ROZSZERZONY: ODPOWIEDZI, ROZWIĄZANIA, WSZYSTKIE ZADANIA

MATURA 2012 MATEMATYKA rozszerzona 9.05.2012 - ARKUSZE, PYTANIA, ODPOWIEDZI, ROZWIĄZANIA >>>

Poniżej będą się pojawiać rozwiązania do kolejnych zadań (aby zobaczyć kolejne rozwiązania ODŚWIEŻ STRONĘ):

Zadanie 1

Odp. Należy rozwiązać równanie, gdzie k - liczba całkowita (jedna z szukanych), kolejne to k+1, k+2

k^2+(k+1)^2+(k+2)^2=k+3

obliczamy deltę (b^2-4ac)=1

Wyznaczamy pierwiastki równania, k1=-1, k2=-2/3. Pierwiastek k2 nie należy do liczb całkowitych

k+1=0

k+2=1

Czyli rozwiązanie: Szukane liczby to -1,0,1,2

Warto sprawdzić swój wynik

1+0+1=(-1+3)

2=2 - prawda, więc nasze rozwiązanie jest poprawne

Zadanie 2

Należy znaleźć miejsca zerowe nierówności x^4+x²>=2x

x^4+x²-2x>=0

Najpierw wyłączamy x przed nawias

x(x^3+x-2)>=0

Następnie sprawdzamy miejsca zerowe (przyrównujemy nierówność do 0)

x(x^3+x-2)=0, czyli x=0 lub x^3+x-2=0

x^3-x+2x-2=0

x(x²-1)+2(x-1)=0

x(x-1)(x+1)+2(x-1)=0

(x-1)[(x(x+1)+2]=0

(x-1)(x²+x+2)=0

Pierwsze miejsce zerowe to 1

Rozwiązujemy równanie (x²+x+2)=0, delta wychodzi mniejsza od zera, czyli to równanie nie ma pierwiastków.

Nierówność ma więc postać (x-1)(x²+x+2)>=0

Należy narysować wykres (miejsca zerowe: 0 i 1)

Rozwiązanie x należy do sumy przedziałów: (-nieskończoność, 0> oraz <1, nieskończoność)

Zadanie 3

cos2x+2=3cosx

2cos²x-1+2=3cosx

Za cosx podstawiamy zmienną t, t należy do zbioru <-1,1> i rozwiązujemy równanie

2t²-3t+1=0

Obliczmy deltę (b^2-4ac)=1 oraz pierwiastki, t1=1/2

t2=1, czyli

cosx=1/2 lub cosx=1

x=pi/3+2*k*pi lub x= - pi /3+2*k*pi lub x=2*k*pi, k należy do zbioru liczb całkowitych

Zadanie 4

Odpowiedź: m należy do zbioru {-√14,√14}

Zadanie 5

a,b,c - ciąg geometryczny

a,b+8,c - ciąg arytmetyczny

a,b+8,c+64 - ciąg geometryczny
Odpowiedź: a=4,b=12,c=36 lub a=4/9, b=-20/9, c=100/9

Zadanie 6

Największa wartość funkcji Fmax <-1,7> = f(-1)=651,25

Najmniejsza wartość funkcji Fmin <-1,7> = f(7)=511,25

Zadanie 7

Dowód:

(a+b)(a-b)²>=0, ponieważ (a+b)>=0 i (a-b)²>=0, dla dowolnych a i b

Stąd: (a²-b²)(a-b)>=0

a^3+b^3-a²b-ab²>=0

Stąd: a^3+b^3>=a²b+ab²

Zadanie 8

Jest 280 liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.

Zadanie 9

Pole trójkąta = 1/2 [ab^3/(a²+b²)

Zadanie 10

Objętość ostrosłupa wynosi 1760√210

Zadanie 11

Założenie:
P (A ∩ B ) = 0.7 (1)
Teza:
P (A ∩ B) ≤ 0.3 (2)

Dowód

Ponieważ ̇P (Ω) = 1 iraz P (A ∪ B) ≤ P (Ω) to:

1 ≥ P (A ∪ B)    (3)

Prawdopodobieństwo zajścia przynajmniej jednego ze zdarzenia A lub B to:

P (A ∪ B) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (A ∩ B )

Po podstawieniu do (3):

1 ≥ P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + P (A ∩ B )

Z założenia (1) wiemy, że P (A ∩ B ) = 0.7, stąd:

1 ≥ P (A ∩ B) + P (A ∩ B) + 0.7
0.3 ≥ P (A ∩ B) + P (A ∩ B)
0.3 − P (A ∩ B) ≥ P (A ∩ B)

Ponieważ P (A ∩ B) ≥ 0 to:

0.3 ≥ P (A ∩ B)

Co kończy dowód.

MATURA 2012 MATEMATYKA rozszerzona 9.05.2012 - ARKUSZE, PYTANIA, ODPOWIEDZI, ROZWIĄZANIA >>>